Question

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0
(1; -2; 1) перпендикулярно прямой {x-2y+z-3=0 ; x+y-z+2=0}

Прямая = система уравнений

Answer 1

Плоскость имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, где $(x_0, y_0, z_0)$ координаты точки, через которую проходит плоскость, а $(A, B, C)$ её нормальный вектор.

За нормальный вектор можно взять направляющий вектор прямой. Найдём его как векторное произведение нормальных векторов двух других плоскостей (через которые и задана прямая) $\overline{a} = \overline{n}_1 \times \overline{n}_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 1 \\ 1&1 & -1\end{vmatrix} = \overline{i}(2 - 1) - \overline{j}(-1 - 1) + \overline{k}(1 + 2) = \overline{i} + 2\overline{j} + 3\overline{k}$

Итого наш ответ: $P : (x - 1) + 2(y + 2) + 3(z - 1) = 0$

или $P : x + 2y + 3z = 0$