Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА с алгеброй

Answer 1

$5\sin2x=2cos x \\\ 5\sin2x-2cos x=0 \\\ 5\cdot2\sin x\cos x-2cos x=0 \\\ \cos x(10\sin x-2)=0 \\\ \cos x=0\Rightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, \ n\in Z} \\\ 10\sin x-2=0 \\\ \sin x=\dfrac{1}{5} \Rightarrow \boxed{x_2=(-1)^k\arcsin\dfrac{1}{5} +\pi k, \ k\in Z}$

$\dfrac{(2x-9\pi)(5x-9\pi)(8x-9\pi)}{\sqrt{\cos x}}=0$

ОДЗ:

$\cos x>0 \\\ \Rightarrow x\in(-\frac{\pi}{2} +2\pi n; \frac{\pi }{2} +2\pi n), \ n\in Z$

Дробь равна нулю когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен (учли в ОДЗ):

$(2x-9\pi)(5x-9\pi)(8x-9\pi)=0 \\\ 2x-9\pi=0\Rightarrow x_1=\dfrac{9\pi}{2} \\\ 5x-9\pi=0\Rightarrow x_2=\dfrac{9\pi}{5} \\\ 8x-9\pi=0\Rightarrow x_3=\dfrac{9\pi}{8}$

Найдем знак косинуса при найденных корнях:

$\cos x_1=\cos \dfrac{9\pi}{2}=\cos \left(4\pi+\dfrac{\pi }{2}\right)=\cos \dfrac{\pi }{2}>0 \\\ \cos x_2=\cos \dfrac{9\pi}{5}=\cos \left(\pi+\dfrac{4\pi}{5}\right)=-\cos \dfrac{4\pi}{5}>0 \\\ \cos x_3=\cos \dfrac{9\pi}{8}=\cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{8}\right)=-\cos \dfrac{\pi}{8}<0$

Положительный косинус возникает только в первом и втором случае, поэтому в ответ попадают только первые два корня.

Ответ: 9п/2 и 9п/5