Предмет: Математика, автор: WOOU

Найдите z6 в показательной форме
z = 1/2 + i [tex]Найдите z6 в показательной форме
z = 1/2 + i корень из 3 /2

Ответы

Автор ответа: bearcab
0
z=frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}
По формуле Муавра

z=rho(cosvarphi+isinvarphi)

Здесь rho=sqrt{(frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}

rho=sqrt{frac{1}{4}+frac{3}{4}}

rho=1

 В данном случае формула принимает вид

z=cosvarphi+isinvarphi

Теперь вычислим cosvarphi

cosvarphi=frac{frac{1}{2}}{rho}

cosvarphi=frac{frac{1}{2}}{1}
cosvarphi=frac{1}{2}

varphi=pmfrac{pi}{3}+2pi*n,quad nin Zquad (1)

То же самое с синусом

sinvarphi=frac{frac{sqrt{3}}{2}}{rho}

sinvarphi=frac{sqrt{3}}{2}

varphi=(-1)^kfrac{pi}{3}+pi*k,quad kin Zquad(2)

Учитывая, формулы (1) и (2) получаем, что угол varphi может принадлежать только первой четверти.

То есть varphi =frac{pi}{3}+2pi n,quad nin Z

 В данном случае подставим в формулу Муавра

z=e^{ifrac{pi}{3}}

z^6=e^{6*ifrac{pi}{3}}

z^6=e^{2pi i}

По формуле Муавра

e^{2pi*i}=cos(2pi)+isin(2pi)=1+i*0=1

Значит z^6=1.

Ответ: 1.
Похожие вопросы
Предмет: Английский язык, автор: baholdinamargarita
Предмет: Русский язык, автор: sasakarankevic