Question

Через точку P, лежащую внутри окружности и удаленную на 7 от центра, проходит хорда окружности. Точка P делитэту хорду на отрезки длиной 6 и 12. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Пусть хорда пересекает окружность в точках А и В, причем АР = 12, а ВР = 6. Центр окружности - точка О. Тогда отрезок ОР = 7.
Соединим центр окружности О с точками А и В. Тогда АО = ВО = R (радиус окр.) Угол АРО = х, а угол ВРО - 180 - х
По теореме косинусов
в тр-ке АОР имеем R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx. (1)
в тр-ке ВОР имеем R^2 = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx. (2)
Приравниваем правые части выражений (1) и (2)
12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx
12^2 - 6^2 = 12*7*3cos x/
7cos x = 3
cos x = 3/7
Из выражения (1) имеем
R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7* 3/7
R^2 = 121
R = 11