Question

Вычислить пределы......................................................:

Answer 1

1)

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(3n - 1)(2n + 4)(n - 1)}{n^2 + n + 1} =  \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^3(3 - \frac{1}{n})(2 + \frac{4}{n})(1 - \frac{1}{n})}{n^2(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} =  \lim\limits_{n \to \infty} 6n = \infty$

2)

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt[3]{n^2 + 1}}{\sqrt[4]{n^4 + 1} + \sqrt[5]{n^4 + 1}} =  \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n(\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} - \sqrt[3]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^3}})}{n(\sqrt[4]{1 + \frac{1}{n^4}} + \sqrt[5]{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^5}})} =  \lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1$

3)

$\lim\limits_{n \to \infty} (\sqrt{\frac{5n}{4n + 3}})^{-\frac{1}{2}} = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[4]{\frac{4n + 3}{5n}} = \sqrt[4]{\lim\limits_{n \to \infty} \frac{4n + 3}{5n}} = \sqrt[4]{\lim\limits_{n \to \infty} \frac{4}{5}} = \sqrt[4]{\frac{4}{5}}$

4) Тут у нас неопределённость вида либо $\infty - \infty$, либо $\infty * 0$

$\lim\limits_{n \to \infty} (\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 2 - n}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1)} = 0$

5)

$\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1 + 2 + \ldots + n}{n + 2} - \frac{n}{2}) = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n(n + 1)}{2(n + 2)} - \frac{n}{2}) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2 + n - n^2 - 2n}{2(n + 2)} = \lim\limits_{n \to \infty} -\frac{n}{2(n + 2)} = -\frac{1}{2}$