Question

Доказать,что число 10^327+56 делится на 11

Answer 1

$10 ^{327} + 56 = 10......056$
всего 328 знаков в числе

число делится на 11, если сумма чисел, стоящих на чётных местах равно сумме чисел, стоящих на нечётных местах.

нули считать не будем;)
Итак, нечётные места:
1 стоит на 1 месте, 5 стоит на 327 м
их сумма =6

6 стоит на чётном месте
поэтому , т.к 6=6, то
наше число делится на 11

Answer 2

Способ 1

10³²⁷+56=10*100¹⁶³+56≡10*1¹⁶³+1(mod 11)=10*1+1=10+1=11≡0(mod 11)

А это значит, что исходное число кратно 11.

В решении использовались свойства сравнения чисел по модулю

-------------

Способ 2

$10^{327}+56=(11-1)^{327}+56= \sum\limits_{k=0}^{327} C^k_{327}*11^{327-k}*(-1)^k+56=11^{327}+C^1_{327}*11^{326}*(-1)+...(-1)^{327}+56=11^{327}-C^1_{327}*11^{326}+...-1+56=(11^{327}-C^1_{327}*11^{326}+...+C^{326}_{327}*11)+5*11$

Каждый одночлен из суммы в скобках содержит в своем разложении на множители хотя бы одно число 11, а значит все выражение в скобках кратно 11. 5*11 кратно 11. Значит исходное число кратно 11

Был использован бином Ньютона