Question

При каких значениях а, графики функций y=2ax^2+2x+1 и y=x^2+2ax-2 пересекаются ровно в одной точке? Желательно с решением!

Answer 1

$y_1=2ax^2+2x+1;~y_2=x^2+2ax-2$

Приравняем два выражения

$y_1=y_2\medskip\\2ax^2+2x+1=x^2+2ax-2\medskip\\2ax^2-x^2+2x-2ax+1+2=0\medskip\\x^2(2a-1)+x(2-2a)+3=0$

Получаем квадратное уравнение. Если его дискриминант равен нулю, то будем иметь только одно решение, что нам и надо. Соотв-но, приравниваем дискриминант к нулю

$D=0\medskip\\(2-2a)^2-4(2a-1)\cdot 3=0\medskip\\4(1-a)^2-12(2a-1)=0\mid\div~4\medskip\\(a-1)^2-3(2a-1)=0\medskip\\a^2-2a+1-6a+3=0\medskip\\a^2-8a+4=0\medskip\\a_{1,2}=4\pm\sqrt{16-4}=4\pm\sqrt{12}=4\pm 2\sqrt{3}=2\left(2\pm\sqrt{3}\right)\medskip\\a_1=2\left(2-\sqrt{3}\right)\medskip\\a_2=2\left(2+\sqrt{3}\right)$

Ответ. $a=2\left(2-\sqrt{3}\right);~a=2\left(2+\sqrt{3}\right)$