Question

Решите под г (желательно подробно)

Answer 1

$\frac{4}{x-3}<x^2-3<\frac{2}{x}<1-x\\\\a)\; \; \frac{4}{x-3}<\frac{2}{x}\; ,\; \; \frac{4}{x-3}-\frac{2}{x}<0\; ,\; \; \frac{4x-2x+6}{x(x-3)}<0\; ,\; \; \frac{2(x+3)}{x-3}<0\; ,\\\\znaki:\; \; +++(-3)---(3)+++\quad \underline {x\in (-3,3)}\\\\b)\; \; x^2-3<1-x\; ,\; \; x^2+x-4<0\; ,\; \; x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}\\\\x\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\, ;\, \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\\\\c)\; \; \frac{4}{x-3}<1-x\; ,\; \; \frac{4}{x-3}-1+x<0\; ,\; \; \frac{4-x+3+x^2-3x}{y}<0\; ,\\\\\frac{x^2-4x+7}{x-3}<0\; ,$

Квадр. трёхчлен  $x^2-4x+7$   имеет дискриминант D=-12<0, поэтому корней нет, значит график (парабола) не пересекает ось ОХ и всюду кв. трёхчлен будет принимать значения, большие 0, то есть $x^2-4x+7>0$  . Поэтому дробь с положительным числителем меньше 0, когда знаменатель x-3<0  ⇒   $x<3$  .

$d)\; \; \frac{4}{x-3}<x^2-3\; ,\; \; \frac{4}{x-3}-x^2+3<0\; ,\; \; \frac{4-x^3+3x^2+3x-9}{x-3}<0\; ,\\\\\frac{-(x^3-3x^2-3x+5)}{x-3}<0\; ,\; \; \frac{x^3-3x^2-3x+5}{x-3}>0\\\\x^3-3x^2-3x+5=(x-1)(x^2-2x-5)\; ,\\\\x^2-2x-5=0\; ,\; D/4=6\; ,\; x_{1,2}=1\pm \sqrt6\; \; \to \\\\x^3-3x^2-3x+5=(x-1)(x-1-\sqrt6)(x+1-\sqrt6)\\\\\frac{(x-1)(x-1-\sqrt6)(x-1+\sqrt6)}{x-3}>0\qquad (-1-\sqrt6\approx -3,45\; \; ;\; \; -1+\sqrt6\approx 1,45)\\\\znaki:\; \; +++(-3,45)---(1)+++(1,45)---(3)+++\\\\x\in (-\infty ;-3,45)\cup (1\, ;\, 1,45)\cup (3\, ;+\infty )$

Теперь ищем пересечение всех интервалов. Это будет интервал (1 ; 1,45) , то есть ответ:   $x\in (1\; ,\; \sqrt6-1)\; .$