Question

Олимпиадная задача за 2017 год.
$cos(10^{n})$ при n=0, 1, 2,..., 2016, 2017.
Вопрос: Сколько отрицательных чисел будет в данной последовательности.

Answer 1

$\cos(10^n)^\circ$

Необходимо воспользоваться тем фактом, что основной период косинуса равен 360°.

Рассмотрим выражение $\cos(10^n)^\circ$:

$(10^n)^\circ=100...0000^\circ=99...9000^\circ+1000^\circ$

Заметим, что первое слагаемое можно представить как произведение некоторого числа k на 360°:

$99...9000^\circ+1000^\circ=277...75\cdot360^\circ+1000^\circ=k\cdot 360^\circ+1000^\circ$

Рассмотрим косинус данного аргумента, учитывая периодичность:

$\cos(10^n)^\circ=\cos(k\cdot 360^\circ+1000^\circ)=\cos1000^\circ= \\\ =\cos(3\cdot360^\circ-80^\circ)=\cos(-80^\circ)=\cos80^\circ>0$

Выражение свелось к косинусу угла первой четверти, который является положительным.

Однако, нужно учесть, что в решении мы предположили, что значение выражения $(10^\circ)^n$ является хотя бы четырехзначным (на шаге представления $(10^\circ)^n=99...9000^\circ+1000^\circ$). Значит, начальные значения косинуса необходимо просчитать дополнительно:

$\cos(10^0)^\circ=\cos1^\circ>0$ - косинус угла первой четверти положителен

$\cos(10^1)^\circ=\cos10^\circ>0$ - косинус угла первой четверти положителен

$\cos(10^2)^\circ=\cos100^\circ<0$ - косинус угла второй четверти отрицателен

$\cos(10^3)^\circ=\cos1000^\circ$ - значение подходит под рассмотренный алгоритм (в данном случае слагаемое $99...9000^\circ$ содержит нулевое число девяток). Это и последующие значения последовательности положительны

Таким образом, отрицательное число получается только при n=2

Ответ: 1