Question

Решите плиз, срочно!)))
Это высшая математика!

Answer 1

$1)\; \; \left(\begin{array}{ccc|c}-4&2&1&5\\1&0&1&-2\\3&2&1&-2\\-3&2&2&3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&-2\\0&2&5&-3\\0&4&3&1\\0&2&5&-3\end{array}\right)\sim \\\\\\\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&-2\\0&2&5&-3\\0&4&3&1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&-2\\0&2&5&-3\\0&0&-7&7\end{array}\right)\; \; \Rightarrow \; \; r=3\; ,\; n=3$

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы r=3 ⇒  система совместна. Так как ранг равен количеству неизвестных n=r=3, то система определённая (имеет решение единственное). Начиная с последнего уравнения находим неизвестные.

$-7x_3=7\; ,\; \; x_3=-1\\\\2x_2=-3-5x_3=-3+5=2\; ,\; \; x_2=1\\\\x_1=-2-x_3\; ,\; \; x_1=-2+1=-1\\\\Otvet:\; \; x_1=-1\; ,\; x_2=1\; ,\; x_3=-1.$

$2)\; \; \left(\begin{array}{ccc|c}-4&2&1&1\\1&0&1&3\\3&2&1&4\\-3&2&2&5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&3\\0&2&5&13\\0&4&3&9\\0&2&5&14\end{array}\right)\sim \\\\\\\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&3\\0&2&5&13\\0&0&-7&-17\\0&0&0&1\end{array}\right)$

Ранг матрицы системы равен 3, а ранг расширенной матрицы равен 4, значит система несовместна. Решений нет.

$3)\; \; \left(\begin{array}{cccc|c}2&1&3&1&4\\3&1&4&2&6\\1&0&1&1&2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc|c}1&0&1&1&2\\0&1&1&-1&0\\0&1&1&-1&0\end{array}\right)\sim \\\\\\\sim \left(\begin{array}{cccc|c}1&0&1&1&2\\0&1&1&-1&0\end{array}\right)\\\\\\\left\{\begin{array}{c}x_1+x_3+x_4=2\quad \\\quad x_2+x_3-x_4=0\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{c}x_1=2-x_4-x_3\\x_2=x_4-x_3\quad \end{array}\right$

Получили общее решение системы, в котором за базисные неизвестные приняты $x_1\; ,\; x_2$  , а за свободные неизвестные - $x_3\; ,\; x_4$ .

Найдём частное решение системы, придавая свободным неизвестным конкретные числовые значения. Например, $x_3=3\; ,\; x_4=4$.

$\left\{\begin{array}{c}x_1=2-4-3\\x_2=4-3\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{c}x_1=-5\\x_2=1\end{array}\right$

Итак, частное решение: $x_1=-5\; ,\; x_2=1\; ,\; x_3=3\; ,\; x_4=4\; .$

Проверка:    $\left\{\begin{array}{c}-10+1+9+4=4\\-15+1+12+8=6\\-5+3+4=2\end{array}\right$  

Базисное решение получим, когда все свободные неизвестные будут равны 0:   $x_1=2\; ,\; x_2=0\; ,\; x_3=0\; ,\; x_4=0\; .$