Question

Как возвести комплексное число в 24 степень с помощью формулы Муавра?
$(1 + \frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{i}{2})^{24}$

Answer 1

$\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{24}=\left(1+\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^{24}=\left(2\cos^2\frac{\pi}{12}+2i\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right)^{24}=$

$=\left(2\cos\frac{\pi}{12}\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)\right)^{24}=2^{24}\cos^{24}\frac{\pi}{12}\left(\cos\frac{24\pi}{12}+i\sin\frac{24\pi}{12}\right)=$

$=2^{24}\left(\cos^2\frac{\pi}{12}\right)^{12}\left(\cos2\pi+i\sin 2\pi\right)=2^{24}\cdot\left(\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}\right)^{12}(1+0i)=$

$=2^{24}\cdot\frac{(1+\sqrt{3}/2)^{12}}{2^{12}}=2^{24}\cdot\frac{(2+\sqrt{3})^{12}}{2^{24}}=(2+\sqrt{3})^{12}$

Думаю, что это и есть предполагаемый ответ, поскольку возвести двучлен $2+\sqrt{3}$ в 12-ю степень с помощью бинома Ньютона, конечно, можно, но довольно утомительно.