Question

Решите пожалуйста уравнения. Желательно подробно.

Answer 1

$1)~16^{\frac{x-1}{x}}\cdot 5^x=100\medskip\\1.~D(y)=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\right\}\medskip\\2. \lg\left[16^{\frac{x-1}{x}}\cdot 5^x\right]=\lg\left[10^2\right]\medskip\\\dfrac{x-1}{x}\lg 16+x\lg 5=2~\mid \cdot~x\neq 0\medskip\\x^2\lg 5+x\lg 16-2x-\lg 16=0\medskip\\x^2\lg\left(\dfrac{10}{2}\right)+4x\lg 2-2x-4\lg 2=0\medskip\\x^2\left(1-\lg 2\right)+x\left(4\lg 2-2\right)-4\lg 2=0\medskip\\x_{1,2}=\dfrac{2-4\lg 2\pm\sqrt{4-16\lg 2+16\lg^{2}2+4(1-\lg 2)(4\lg 2)}}{2(1-\lg 2)}$

$x_{1,2}=\dfrac{2-4\lg 2\pm\sqrt{4-16\lg 2+16\lg^{2}2+16\lg 2-16\lg^{2}2}}{2(1-\lg 2)}=\medskip\\=\dfrac{2(1-2\lg 2)\pm\sqrt{4}}{2(1-\lg 2)}=\dfrac{2(1-2\lg 2\pm 1)}{2(1-\lg 2)}=\dfrac{1-2\lg 2\pm 1}{1-\lg 2}\medskip\\x_1=\dfrac{1-2\lg 2-1}{1-\lg 2}=\dfrac{\lg{0.25}}{\lg 5}=\log_{5}0.25\medskip\\x_2=\dfrac{1-2\lg 2+1}{1-\lg 2}=\dfrac{2(1-\lg 2)}{1-\lg 2}=2\medskip\\3.~x_1\in D(y);~x_2\in D(y)$

$2)~3^{x-3}=5^{x^2-7x+12}\medskip\\\ln\left(3^{x-3}\right)=\ln\left(5^{x^2-7x+12}\right)\medskip\\(x-3)\ln 3=(x^2-7x+12)\ln 5\medskip\\x^2\ln 5-7\ln(5)x+12\ln 5-x\ln 3+3\ln 3=0\medskip\\x^2\ln 5-x(7\ln5+\ln 3)+(12\ln 5+3\ln 3)=0\medskip\\x_{1,2}=\dfrac{7\ln 5+\ln 3\pm\sqrt{49\ln^{2}5+14\ln 5\ln 3+\ln^{2}3-4\ln 5(12\ln 5+3\ln 3)}}{2\ln 5}=\medskip\\=\dfrac{7\ln 5+\ln 3\pm\sqrt{49\ln^{2}5+14\ln 5\ln 3+\ln^{2}3-48\ln^{2}5-12\ln 5\ln 3}}{2\ln 5}=$

$=\dfrac{7\ln 5+\ln 3\pm\sqrt{\ln^{2}5+2\ln 5\ln 3+\ln^{2}3}}{2\ln 5}=\medskip\\=\dfrac{7\ln 5+\ln 3\pm\sqrt{\left(\ln 5+\ln 3\right)^{2}}}{2\ln 5}=\dfrac{7\ln 5+\ln 3\pm\left(\left|\ln 5+\ln 3\right|\right)}{2\ln 5}=\medskip\\=\dfrac{7\ln 5+\ln 3\pm\left(\ln 5+\ln 3\right)}{2\ln 5}\medskip\\x_1=\dfrac{7\ln 5+\ln 3 - \ln 5-\ln 3}{2\ln 5}=\dfrac{6\ln 5}{2\ln 5}=3\medskip\\x_2=\dfrac{7\ln 5+\ln 3 +\ln 5+\ln 3}{2\ln 5}=\dfrac{8\ln 5+2\ln 3}{2\ln 5}=4+\log_{5}3$

Ответ. 1) $x=\log_{5}0.25;~x=2$ ; 2) $x=3;~x=4+\log_{5}3$