Question

$\sqrt{7 ^{2x + 6} } - \sqrt{49 ^{2x + 2} } - 2 ^{2x + 5} + 2 \times 2 ^{2 + x} > 0$
найти сумму целых решений , удовлетворяющих условию
$|x| \leqslant 5$
СРОЧНО

Answer 1

Необязательно решать неравенство, чтобы ответить на вопрос задачи.

Преобразуем неравенство к виду:

$(7^{x+3}-7^{2x+2})+(2^{x+3}-2^{2x+5})>0$

Когда неравенство выполнится? Когда два слагаемых будут точно положительны, а это происходит, если вычитаемое в каждой скобке меньше соответствующего уменьшаемого. То есть справедлива следующая система неравенств:

$\left \{ {{7^{x+3}>7^{2x+2}} \atop {2^{x+3}>2^{2x+5}}} \right.\\\left \{ {{x+3>2x+2} \atop {x+3>2x+5}} \right.\Leftrightarrow x+3>2x+5 \Rightarrow x<-2$

Значит, все x ∈ [-5; -2) нам точно подходят.

Теперь рассмотрим случай, когда неравенство точно не выполнится. Это случай, противоположный первому.

$\left \{ {{x+3<2x+2} \atop {x+3<2x+5}} \right. \Leftrightarrow x+3<2x+2 \Rightarrow x>1$

Значит, все x ∈ (1; 5] нам точно не подходят.

Остаётся перебрать оставшиеся x: -2; -1; 0; 1.

При x = -2 получаем $(7^1-7^{-2})+(2^1-2^1)>0$

При x = -1 $(7^2-7^0)+(2^2-2^3)=48-4>0$

При x = 0 $(7^3-7^2)+(2^3-2^5)=294-24>0$

При x = 1 $(7^4-7^4)+(2^4-2^7)<0$ - не удовлетворяет условию

Следовательно, нужные нам x: -5, -4, -3, -2, -1, 0. Их сумма равна -15.

Ответ: -15