Question

Решить уравнение

ctg(2x)-ctg(x)=2ctg(4x)

Answer 1

$ctg2x-ctgx=2\, ctg4x\; ,\; \; ODZ:\; sin2x\ne 0,sinx\ne 0,sin4x\ne 0\; \to \; x\ne \frac{\pi n}{4}$

$\frac{cos2x}{sin2x}-\frac{cosx}{sinx}=2\cdot \frac{cos4x}{sin4x}\\\\\frac{sinx\cdot cos2x-cosx\cdot sin2x}{sinx\cdot sin2x}=2\cdot \frac{1-2sin^22x}{2sin2x\cdot cos2x}\; \; (cos2x=1-2sin^2x)\\\\\frac{sin(-x)}{sinx}=\frac{1-2sin^22x}{1-2sin^2x}\; ,\; \; -1\cdot (1-2sin^2x)=1-2sin^22x\\\\2sin^2x-1=1-8sin^2x\cdot cos^2x\\\\2sin^2x+8sin^2x\cdot cos^2x-2=0\, |:2\; \; (1=sin^2x+cos^2x)\\\\4sin^2x\cdot cos^2x-cos^2x=0\\\\cos^2x\cdot (4sin^2x-1)=0\\\\a)\; \; cos^2x=0\; ,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k\notin ODZ\\\\b)\; \; sin^2x=\frac{1}{4}\; ,\; sinx=\pm \frac{1}{2}$

$x_1=(-1)^{n}\frac{\pi }{6}+\pi n\; \; ili\; \; x_2=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\; n,k\in Z\; \Rightarrow \\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi }{6}+\pi n\; ;\; \; x=\frac{5\pi }{6}+\pi k\; ;\; n,k\in Z\; .$

$P.S.\; \; ili\; \; \; sin^2x=\frac{1}{4}\; ,\; \; \frac{1-cos2x}{2}=\frac{1}{4}\; ,\; cos2x=\frac{1}{2}\; ,\\\\2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\; ,\; \; \underline {x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k\; ,\; k\in Z\; -\; otvet}$

Answer 2

task/29729177  Решить уравнение  ctg(2x) - ctg(x)  = 2ctg(4x)                                   ----------

ОДЗ : { sin2x ≠ 0 ; sinx ≠ 0 ; sin4x ≠0 .      x ≠ πk/4 , k ∈ ℤ .

ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x) ⇔ ctg(2x) - 2ctg(4x)  =  ctg(x) ⇔

ctg(2x) -(ctg²(2x)-1) /ctg2x =ctg(x) ⇔1/ctg(2x)=ctg(x)⇔2ctgx / (ctg²x -1) =ctgx⇔

|| ctgx ≠ 0 ||    2 / (ctg²x -1) = 1 ⇔ 2 =  ctg²x - 1 ⇔ ctg²x  = 3 ⇔ ||  ctgx  = ±√3  ||

(1+cos2x) / (1-cos2x) = 3  ⇔   1+cos2x  =3 - 3cos2x ⇔ cos2x = 1/2 ⇔

2x = ± π/3 + 2πk ,  k ∈ ℤ . 

ответ:  x =± π/6 + πk ,  k ∈ ℤ