Question

Довести нерівність (a³-1)(a-1) ≥ 3a(a²-2a+1)

Answer 1

Знайдемо різницю (a³-1)(a-1) - 3a(a²-2a+1) = (a²+ a +1)(a-1)² - 3a(a-1)² =

= (a-1)²(a²+ a + 1 - 3a) = (a-1)²(a² + 1 - 2a) = (a-1)²(a-1)² = (a-1)⁴.

Оскільки (a-1)⁴ ≥ 0, то (a³-1)(a-1) - 3a(a²-2a+1) ≥ 0. Звідси маємо, що зменшуване цієї різниці більше за від'ємник, тобто (a³-1)(a-1) ≥ 3a(a²-2a+1), що й треба було довести.