Question

Как решить (sinx)^(-3)=cosx

Answer 1

$\sin^3x\cos x=1\\ \cos x(1-\cos^2x)|\sqrt{1-\cos^2x}|=1$

Пусть $\cos x=t$, тогда получим $t(1-t^2)|\sqrt{1-t^2}|=1$

Так как ОДЗ уравнения [-1;1], то модуль можно убрать

$t(1-t^2)\sqrt{1-t^2}=1$

$t(1-t^2)^{3/2}=1$

Рассмотрим функцию $f(t)=t(1-t^2)^{3/2}$. Множество значений функции : $E(f)=[-\frac{3\sqrt{3}}{16};\frac{3\sqrt{3}}{16}]$ - это можно показать с помощью производной.

И очевидно, что $\frac{3\sqrt{3}}{16}<1$, тогда график функции $f(t)=t(1-t^2)^{3/2}$ с прямой y=1 не будет иметь общих точек, следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.