Question

Работа по Матану математическая индукция

Answer 1

1)

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - ... + \frac{1}{(-2)^{n + 1}} = \frac{1}{6} * (1 - \frac{1}{(-2)^{n}})$

Проверим при n = 1.

$\frac{1}{4} = \frac{1}{6}(1 - \frac{1}{(-2)})$

Предположим, что верно при n = k. Проверим, верно ли при n = k + 1.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - ... + \frac{1}{(-2)^{n + 1}} + \frac{1}{(-2)^{k + 2}}= \frac{1}{6} * (1 - \frac{1}{(-2)^{n}}) + \frac{1}{(-2)^{k+2}}$

$\frac{1}{6} * (1 - \frac{1}{(-2)^{n}}) + \frac{1}{(-2)^{k+2}} = \frac{1}{6}(1 - \frac{1}{(-2)^{n}} + \frac{6}{(-2)^{k+2}}) = \frac{1}{6}(1 - \frac{1}{(-2)^{n}} - \frac{3}{(-2)^{k+1}}) = \frac{1}{6}(\frac{(-2)^{k + 1} + 2 - 3}{(-2)^{k+1}}) = \frac{1}{6}(1 - \frac{1}{(-2)^{k+1}})$

2)

Проверим для n = 1. 7 делит 7, так что верно.

Предположим, что верно при n = k. Проверим, верно ли при n = k + 1.

$(6^{2k + 1} + 1)\vdots7$

$(6^{2k + 3} + 1) = 6^{2k + 3} + 36 - 35 = 6^2(6^{2k+1} + 1) - 7*5$

Очевидно, что $(6^2(6^{2k + 1} + 1) - 7*5)\vdots7$, тк и $7 * 5$, и $6^{2k+1} + 1$ делится на 7.