Question

решить дифференциальное уравнение xy'-y=x^2cosx

Answer 1

$xy'-y=x^2cos x\ \ x frac{dy}{dx} -y-x^2cos x=0\ \ xdy+(-y-x^2cos x)dx=0$

$displaystyle frac{partial M}{partial x} = frac{partial x}{partial x} =1\ \ \ frac{partial N}{partial y}= frac{partial(-y-x^2cos x)}{partial y} =-1$

Поскольку $displaystyle frac{partial M}{partial x}ne frac{partial N}{partial y}$, то дифференциальное уравнение не является в полных дифференциалах 

Найдем для него интегрирующий множитель

$displaystyle phi(x)= frac{ frac{partial N}{partial y}- frac{partial M}{partial x} }{M} = frac{-1-1}{x} \ \ \ nu(x)=e^big{int- frac{2}{x}dx }= frac{1}{x^2}$

Умножим обе части уравнения на $dfrac{1}{x^2}$, получаем

$displaystyle frac{dy}{dx} cdot frac{1}{x} - frac{y}{x^2} =cos x\ \ \ frac{dy}{dx}cdot frac{1}{x} +ycdot frac{d( frac{1}{x}) }{dx} =cos x\ \ \ frac{d}{dx}bigg( frac{y}{x}bigg)=cos x$

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

$displaystyle frac{y}{x} =intlimits {cos x} , dx \ \ \ frac{y}{x} =sin x+C\ \ \ boxed{y=x(sin x+C)}$