Question

Вычислить:
$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101} }+ \frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{102} }+...+ \frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121} }$

Answer 1

Дробь в знаменателе имеет вид √x + √(x+1), если каждую из них умножить(знаменатель и числимое) на √x - √(x+1), то в знаменателе будет такая ситуация: (√x - √(x+1))* (√x + √(x+1)) = √x^2 -√(x+1)^2 = x - (x+1)

$\frac{\sqrt{100}-\sqrt{101}}{100-101} + \frac{\sqrt{101}-\sqrt{102}}{101-102} + +\frac{\sqrt{120}-\sqrt{121}}{120-121}=$

$-\sqrt{100}+\sqrt{101} -\sqrt{101}+\sqrt{102} + -\sqrt{120}+\sqrt{121}}=$

все члены кроме первого и последнего взаимно сократятся

$-\sqrt{100}+\sqrt{121}}=-10+11=1$

Answer 2

$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101}}+\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{102}}+\frac{1}{\sqrt{102}+\sqrt{103}}+...+\frac{1}{\sqrt{119}+\sqrt{120}}+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}=\\\\=\frac{\sqrt{101}-\sqrt{100}}{101-100}+\frac{\sqrt{102}-\sqrt{101}}{102-101}+\frac{\sqrt{103}-\sqrt{102}}{103-102}+...+\\\\+\frac{\sqrt{120}-\sqrt{119}}{120-119}+\frac{\sqrt{121}-\sqrt{120}}{121-120}=\\\\=\underline {\sqrt{101}}-\sqrt{100}+\underline {\underline {\sqrt{102}}}-\underline {\sqrt{101}}+\sqrt{103}-\underline {\underline {\sqrt{102}}}+...+$

$+\underline {\underline {\underline {\sqrt{120}}}}-\sqrt{119}+\sqrt{121}-\underline {\underline {\underline {\sqrt{120}}}}=-\sqrt{100}+\sqrt{121}=-10+11=1$