Question

Решите, пожалуйста, иррациональные нер-ва и объясните, что и как. Не очень понимаю

1)
$(x - 1) \times \sqrt{x {}^{2} - x - 2 } \geqslant 0$


2)
$\frac{ \sqrt{2x + 7} }{x + 2} > 1$

Answer 1

Привет, это просто слова, нужно 20 символов

Answer 2

$1)\; \; (x-1)\cdot \sqrt{x^2-x-2}\geq 0\; ,\; \; ODZ:\; x^2-x-2\geq 0\; ,\\\\x_1=-1\; ,\; x_2=2\; \; (teor.\; Vieta)\; \; \Rightarrow \; \; (x+1)(x-2)\geq 0\; \; \Rightarrow \\\\x\in (-\infty ,-1\, ]\cup [\, 2,+\infty )\\\\T.k.\; \sqrt{x^2-x-2}\geq 0\; \; pri\; \; x\in ODZ\; ,to\; (x-1)\cdot \sqrt{x^2-x-2}\geq 0\; pri\\\\x-1\geq 0\; \; \Rightarrow \; \; x\geq 1\\\\\left \{ {{x\geq 1} \atop {x\in (-\infty ,-1\, ]\cup [\, 2,+\infty )}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; x\in [\,2,+\infty )$

Так как левая часть неравенства равна 0 при х=1 , х=-1 , х=2, причём  х=-1 ,х=2 входят в ОДЗ, пишем ответ:

$x\in \{-1\}\cup [\, 2,+\infty ).$

$2)\; \; \frac{\sqrt{2x+7}}{x+2}>1\; ,\; \; ODZ:\; \left \{ {{2x+7\geq 0} \atop {x+2\ne 0}} \right. \; \; \left \{ {{x\geq -3,5} \atop {x\ne -2}} \right. \; \; \Rightarrow \\\\x\in [-3,5\, ;\, -2)\cup (-2;+\infty )\\\\\frac{\sqrt{2x+7}}{x+2}-1>0\; ,\; \; \frac{\sqrt{2x+7}-x-2}{x+2}>0\; \Rightarrow \\\\\left \{ {{\sqrt{2x+7}-x-2>0} \atop {x+2>0}} \right. \; \; ili\; \; \left \{ {{\sqrt{2x+7}-x-2<0} \atop {x+2<0}} \right. \\\\a)\; \; \left \{ {{\sqrt{2x+7}>x+2} \atop {x+2>0}} \right. \; \left \{ {{2x+7>x^2+2x+4} \atop {x>-2\; ,\; }} \right.$

$\left \{ {{x^2-3<0} \atop {x>-2}} \right. \; \left \{ {{(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)<0} \atop {x>-2}} \right. \; \left \{ {{x\in (-\sqrt3,\sqrt3)} \atop {x>-2}} \right. \; \to \; \; x\in (-\sqrt3,\sqrt3)\\\\b)\; \; \left \{ {{\sqrt{2x+7}<x+2} \atop {x+2<0}} \right. \; \left \{ {{2x+7\geq 0} \atop {x<-2}} \right. \; \left \{ {{x\geq -3,5} \atop {x<-2}} \right. \; \to \; \; x\in (-\infty ;-3,5\, ]\\\\x\in (-\infty ;-3,5\, ]\cup (-\sqrt3;\sqrt3)\; .$

$\left \{ {{x\in [-3,5\, ;\, -2)\cup (-2;+\infty )} \atop {x\in (-\infty ;-3,5\, ]\cup (-\sqrt3;\sqrt3)}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; x\in \{\, -3,5\, \}\cup (-\sqrt3;\sqrt3)$