Question

Найти все целочисленные решения уравнения:
5x+3y=17
16x^2+8xy-3y^2+19=0

Answer 1

$5x + 3y = 17$

Найдём частное решение этого уравнения, решив такое уравнение:

$5x + 3y = gcd(5, 3) = 1$

Решениями являются

$x_g = 2, y_g = -3$

И частное решение этого уравнения выглядит как

$\left \{ {{x_0 = x_g \frac{17}{gcd(5, 3)} = 34} \atop {y_0 = y_g\frac{17}{gcd(5, 3)}=-51} \right.$

Остальные решения в целых числах можно найти как:

$\left \{ {{x = x_0 + k * \frac{3}{gcd(5, 3)}} \atop {y = y_0 - k * \frac{5}{gcd(5, 3)}}} \right.$

Где $k \in \mathbb{Z}$

$16x^2+8xy-3y^2+19=0$

$(4x + y)^2 - 4y^2 = -19$

$(4x - y)(4x + 3y) = -19$

Число -19 простое, тогда решением будет являться одна из систем:

$\left \{ {{4x - y = \pm19} \atop {4x + 3y = \mp1}} \right.$

$\left \{ {{4x - y = \pm1} \atop {4x + 3y = \mp19}} \right.$

У первых систем нет решений в целых числах. Решениями вторых являются пары (1, 5) и (-1, -5).