Question

Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма членов которого равна 243, а сумма первых трех членов равна 171

Answer 1

b1+b2+b3=b1+b1q+b1q^2=171
b1(1+q+q^2)=171
S=b1/1-q
b1/1-q=243
b1=243×(1-q)
243×(1-q)×(q^2+q+1)=171
1^3-q^3=171/243
1-q^3=19/27
q^3=1-19/27=8/27
q=2/3
b1=243*(1-q)=243*(1-2/3)=243*1/3=81

Answer 2

S=b₁/(1-q)=243  ⇒

b₁=243*(1-q)

b₁+b₁q+b₁q²=b₁*(1+q+q²)=171    ⇒     b₁=171/(1+q+q²)

243*(1-q)=171/(1+q+q²)

(1-q)*(1+q+q²)=171/243

-(q-1)*(q²+q+1)=19/27  |×(-1)

(q-1)*(q²+q+1)=-19/27

q³-1=-19/27

q³=1-(19/27)=8/27

q=∛(8/27)=∛(2³/3³)=∛(2/3)³=2/3.     ⇒

b₁=243*(1-(2/3))=243*(1/3)=81.

Ответ: b₁=81.