Question

y²+xy-4x-9y+20=0
y=ax+1
x>2
найти все значения а, при которых параметр имеет единственное решение

Answer 1

Условие. Y²+xy-4x-9y+20=0 ;   y=ax+1 ;   x>2

найти все значения а, при которых графики имеют одну общую точку(в нашем случае (ax+1)² + x(ax+1) -4x - 9(ax+1)+20=0 имеет единственное решение).

Решение:

Подставим у = (ax+1)² в уравнение у²+xy-4x-9y+20=0, получим

$(ax+1)^2+x(ax+1)-4x-9(ax+1)+20=0\\ a^2x^2+2ax+1+ax^2+x-4x-9ax-9+20=0\\ x^2(a^2+1)-(3+7a)x+12=0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения относительно x

$D=(3+7a)^2-4(a^2+1)\cdot12=9+42a+49a^2-48a^2-48=\\ =a^2+42a-39=0$

Получим $a_{1,2}=-21\pm4\sqrt{30}$

Если подставить $a=-21+4\sqrt{30}$, т.е. имеется квадратное уравнение $(922-168\sqrt{30})x^2+(144-28\sqrt{30})x+12=0$, у которого корень

                                                 $\bigg(x-\dfrac{36+7\sqrt{30}}{29}\bigg)^2=0\\ \\ x=\dfrac{36+7\sqrt{30}}{29}>2$

Если подставить $a=-21-4\sqrt{30}$, т.е. имеется квадратное уравнение $(922+168\sqrt{30})x^2+(144+28\sqrt{30})x+12=0$, у которого корень

                                                 $\bigg(x-\dfrac{36-7\sqrt{30}}{29}\bigg)^2=0\\ \\ x=\dfrac{36-7\sqrt{30}}{29}<2$

Ответ: $a=-21+4\sqrt{30}$