Question

Помогите решить пример
Sin(x/4)=sin^2(x/16)-cos^2(x/16)

Answer 1

$\sin\frac{x}{4}=-(\cos^2\frac{x}{16}-\sin^2\frac{x}{16})$

В левой части уравнения видим, что это формула косинуса двойного угла

$\sin\frac{x}{4}=-\cos(2\cdot\frac{x}{16})\\ \sin\frac{x}{4}=-\cos\frac{x}{8}$

Представим $\sin\frac{x}{4}=\sin(2\cdot\frac{x}{8})=2\sin\frac{x}{8}\cos\frac{x}{8}$ - синус двойного угла, получим

$2\sin\frac{x}{8}\cos\frac{x}{8}=-\cos\frac{x}{8}\\ 2\sin\frac{x}{8}\cos\frac{x}{8}+\cos\frac{x}{8}=0\\ \cos\frac{x}{8}(2\sin\frac{x}{8}+1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\cos\frac{x}{8}=0\\ \frac{x}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~|\cdot 8~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=4\pi+8\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$2\sin \frac{x}{8}+1=0\\ \sin\frac{x}{8}=-0.5\\ \frac{x}{8}=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{4\pi}{3}+8\pi k,k \in \mathbb{Z}}$