Question

ABCDA1B1C1D1 – куб, K принадлежит DD1, DK=KD1.
Дайте ответы на поставленные ниже вопросы с необходимыми обоснованиями.
1.Объясните, как построить точку пересечения прямой B1K с плоскостью (АВС)?
2.Объясните, как построить линию пересечения плоскостей (AB1K) и (ADD1)?
3.Объясните, как построить линию пересечения плоскостей (AB1K) и (ADС)?
4.Вычислите длины отрезков АК и АВ1, если АD=a.

Answer 1

1.

DB ⊂ (ABC),(DBB₁ ); K ∈ DD₁ ⇒ B₁K ⊂ (DBB₁ ).

Значит BD ∩ B₁K = M; M ∈ BD ⊂ (ABC).

Итог: B₁K ∩ (ABC) = M.

2.

K ∈ DD₁ ⊂ (ADD₁ ); A ∈ (ADD₁ ); A,K ∈ (AB₁K).

Значит (AB₁K) ∩ (ADD₁ ) = AK.

3.

M ∈ B₁K ⊂ (AB₁K); A ∈ (AB₁K),(ADC); M ∈ BD ⊂ (ADC).

Значит (AB₁K) ∩ (ADC) = AM.

4.

AD=a ⇒ ребро куба равно а.

DK=KD₁ ⇒ DK=$\tt \dfrac12 a$

Смежные рёбра в кубе перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора:

$\tt \displaystyle AK=\sqrt{AD^2 +DK^2 } =\sqrt{a^2 +(\frac12 a)^2 } =\\=a\sqrt{1+\frac14 } =\boxed{\tt a\frac{\sqrt5 }2 }$

ABB₁A₁ - квадрат т.к. это грань куба.

AB₁ = a√2 - как диагональ квадрата со стороной a.