Question

Найти площадь треугольника АВС, если АС = 1, угол А = 60 градусов, а косинус В = корень (27/28)

Answer 1

По теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin{\angle B}}=\frac{BC}{\sin{\angle A}}=\frac{AB}{\sin{(\pi - (\angle A + \angle B))}}$

$\frac{AC}{\sin{\angle B}}=\frac{BC}{\sin{\angle A}}=\frac{AB}{\cos{\angle A + \angle B}}$

$\frac{AC}{\sin{\angle B}}=\frac{BC}{\sin{\angle A}}=\frac{AB}{\cos{\angle A}\cos{\angle B}-\sin{\angle A}\sin{\angle B}}$

Подставляем, считаем:

$\sin{\angle A}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \ \ \ \sin{\angle B}=[tex]\cos{(\angle A+ \angle B)}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{27}{28}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{28}}=\frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2}$

Теперь подставляем это в теорему синусов:

$AB=\frac{AC}{\frac{1}{\sqrt{28}}}\cdot \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2}=\sqrt{28}\cdot \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2}=\sqrt{28/7 \cdot 3}:2=\sqrt{12}/2=2\sqrt{3}/2=\sqrt{3}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle A}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$

Если я нигде не налажал в вычислениях