Question

Помогите пожалуйста с тригонометрией ! Даю 20 баллов. 63,64 и 66.

Answer 1

Полезно помнить формулы понижения степени :

$cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\; \; ,\; \; sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\; .$

Они выводятся из формулы двойного угла. Их ещё называют " формулы трёх двоечек", т.к. в записи каждой  формулы участвуют три двойки. Из этих формул получают ещё две полезные формулы:

$1+cos2a=2cos^2a\; \; ,\; \; 1-cos2a=2sin^2a\; .\\\\\\63)\; \; sin\frac{x}{2}+1=cosx\\\\sin\frac{x}{2}+(1-cosx)=0\\\\sin\frac{x}{2}+2sin^2\frac{x}{2}=0\\\\sin\frac{x}{2}\cdot (1+2sin\frac{x}{2})=0\\\\a)\; sin\frac{x}{2}=0\; ,\; \; \frac{x}{2}=\pi n\; \; ,\; \; x=2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; sin\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\; \; ,\; \; \frac{x}{2}=(-1)^{k}\cdot (-\frac{\pi }{6})+\pi k\; ,\\\\x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{3}+2\pi k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; x=2\pi n\; ,\; \; x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi }{3}+2\pi k\; \; ,\; n,\, k\in Z\; .$

$64)\; \; 1+cos\frac{x}{2}+cosx=0\\\\(1+cosx)+cos\frac{x}{2}=0\\\\2cos^2\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}=0\\\\cos\frac{x}{2}\, (2cos\frac{x}{2}+1)=0\\\\a)\; \; cos\frac{x}{2}=0\; ,\; \; \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n\; ,\; \; x=\pi +2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; cos\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\; ,\; \; \frac{x}{2}=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi k\; ,\\\\\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k\; ,\; \; x=\pm \frac{4\pi}{3}+4\pi k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; x=\pi +2\pi n\; ,\; \; x=\pm \frac{4\pi}{3}+4\pi k\; ,\; \; n,\, k\in Z$

$66)\; \; 2cos^2x=1+\sqrt2-cos2x\\\\2cos^2x=(1-cos2x)+\sqrt2\\\\2cos^2x=2sin^2x+\sqrt2\\\\2(\underbrace {cos^2x-sin^2x}_{cos2x})=\sqrt2\\\\cos2x=\frac{\sqrt2}{2}\\\\2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n\; ,\; n\in Z\; \; -\; \; otvet\; .\\\\65)\; \; 2+cos2x=4cos^2x\\\\1+(\underbrace {1+cos2x}_{2cos^2x})=4cos^2x\\\\1+2cos^2x=4cos^2x\; \; ,\; \; 2cos^2x=1\; \; ,\; \; 2\cdot \frac{1+cos2x}{2}=1\; ,\\\\cos2x=0\; ,\; \; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n\; ,\; \; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\; -\; otvet$

$ili\\\\2+cos2x=4\cdot \frac{1+cos2x}{2}\; \to \; \; 2+cos2x=2+2cos2x\; ,\\\\cos2x=0\; ,\; \; 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n\; ,\; \; x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\; -\; otvet\; .$