Question

Помогите решить. Метод математической индукции.

Answer 1

1. 1) Пусть n = 1. Тогда $a_{1}=a_{1}*q^{1-1}\Leftrightarrow a_{1}=a_{1}$. Верно

2) Пусть n = k. Предположим, что равенство выполняется.

3) Пусть n = k + 1. Тогда $a_{k+1}=a_{1}*q^k; a_{k} = a_{k}=a_{1}*q^{k-1}$. Составим отношение: $\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{a_{1}q^{k}}{a_{1}q^{k-1}}=q$. Равенство верно по определению, значит, формула доказана.

2. 1) Назовём выражение A(n). Тогда A(1) = 5²+2³ = 25+8 = 33 ⋮ 3. Верно.

2) Пусть A(k) ⋮ 3 выполняется.

3) $A(k+1)=5^{k+2}+2^{3k+3}=5*5^{k+1}+8*2^{3k}=5*5^{k+1}+(5+3)*2^{3k}=\\=5*5^{k+1}+5*2^{3k}+3*2^{3k}=5*(5^{k+1}+2^{3k})+3*2^{3k}=5*A(k)+3*2^{3k}$. Так как оба слагаемых делятся на 3 (A(k) по предположению, второе из-за множителя 3), то и всё выражение делится на 3. Утверждение доказано.

3. 1) Пусть n = 1. Тогда $1*3=\frac{1*(4*1^2+9*1+5)}{6}\Rightarrow 3=\frac{18}{6}\Rightarrow 3=3$. Верно.

2) Пусть при n = k равенство выполняется.

3) Пусть n = k + 1. Тогда $1*3+2*5+...+k(2k+1)+(k+1)(2k+3)=\frac{(k+1)(4(k+1)^2+9(k+1)+5)}{6}\\\frac{k(4k^2+9k+5)}{6}+2k^2+5k+3=\frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}\\4k^3+9k^2+5k+12k^2+30k+18=4k^3+21k^2+35k+18\\4k^3+21k^2+35k+18=4k^3+21k^2+35k+18\\0=0$. Верно, значит, исходное равенство выполняется.