Question

Решить задачу 210:))

Answer 1

$f(x) = \frac{x}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } }$
$f(f(x)) = \frac{\frac{x}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } } }{ \sqrt{1 + ( {\frac{x}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } }) }^{2} } } = \\ = \frac{x}{ \sqrt{(1 + {x}^{2} )(1 + ( {\frac{x}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } }) }^{2}} )} = \\ = \frac{x}{ \sqrt{ \frac{(1 + {x}^{2})(1 + {x}^{2} + {x}^{2} )}{(1 + {x}^{2} )} } } = \frac{x}{ \sqrt{1 + 2 {x}^{2} } }$

$f(f(f(x))) = \frac{\frac{x}{ \sqrt{1 + 2 {x}^{2} } } }{ \sqrt{1 + ({\frac{x}{ \sqrt{1 + 2 {x}^{2} } } })^{2} } } = \\ = \frac{x}{ \sqrt{1 + 2 {x}^{2} + {x}^{2} } } = \\ = \frac{x }{\sqrt{1 + 3 {x}^{2} }}$


$f(f(....f(x))) = \frac{x}{ \sqrt{1 + (n + 1) {x}^{2} } }$
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