Question

В каждой вершине n-угольника стоит одно из чисел +1 или -1.
На каждой стороне написано произведение чисел, стоящих на концах этой стороны.
Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю.
Докажите, что
1) n - четно,
2) n делится на 4.

Answer 1

На каждой стороне написано либо число 1, либо -1, а так как сумма равна нулю, то сторон обоих типов поровну. Обозначим это количество за m, тогда общее число сторон равно n = 2m (то есть четно).

Если на стороне написано -1, тогда на концах написано -1 и +1, всего таких сторон m.

Пусть есть еще k сторон, на обоих концах которых написано +1, тогда всего на концах всех сторон написано m + 2k единиц, при этом каждую вершину на которой написано +1 посчитали дважды.

Значит, m + 2k - четное число, то есть и m четное, следовательно, n = 2 m делится на 4.