Question

Найдите неопределённые интегралы . Результат проверить дифференцированием .

Answer 1

Найти неопределенный интеграл. Результат проверить дифференцированием.

$\int\limits{\frac{dx}{\sqrt{9-3x^2} }} =\frac{1}{3} \cdot\int\limits{\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{x^2}{3}}}}=\frac{1}{3} \cdot\int\limits{\frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{3}})^2}}}$

Далее замена переменных

$u=\frac{x}{\sqrt{3}}$

$dx =\sqrt{3}du$

$\frac{1}{3} \cdot\int\limits{\frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{3}})^2}}}=\frac{1}{3} \cdot\int\limits{\frac{\sqrt{3} du}{\sqrt{1-u^2}}}=\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot\int\limits{\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}}=\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot arcsin(u)+C$

Сделаем обратную замену переменных

$\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot arcsin(u)+C=\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot arcsin(\frac{x}{\sqrt{3} })+C$

Следовательно

$\int\limits{\frac{dx}{\sqrt{9-3x^2} }}=\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot arcsin(\frac{x}{\sqrt{3} })+C$

Проверка

$(\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot arcsin(\frac{x}{\sqrt{3} })+C)'=(\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot arcsin(\frac{x}{\sqrt{3} }))'+(C)' =\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{3} } )^2} }\cdot (\frac{x}{\sqrt{3} } )'=\frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{3} } )^2} }\cdot \frac{1}{\sqrt{3} }=$$=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{3} } }=\frac{1}{\sqrt{9-3x^2} }$