Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке x0:
$f(x) = 3 - \sqrt{x } - \frac{2}{\pi} \sin(\pi x)$
x0=1.

Answer 1

Общий вид уравнения касательной: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Найдем значение функции в точке $x_0=1$, получим

$f(1)=3-\sqrt{1}-\frac{2}{\pi}\sin\pi =3-1-0=2$

Найдем производную функции

$f'(x)=(3-\sqrt{x}-\frac{2}{\pi}\sin \pi x)=(3)'-(\sqrt{x})'-\frac{2}{\pi}\cdot(\sin\pi x)'=\\ \\ =-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{\pi}\cdot \cos\pi x\cdot(\pi x)'=-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{\pi}\cdot \cos\pi x\cdot \pi =-\frac{1}{2\sqrt{x}}-2\cos\pi x$

Значение производной функции в точке $x_0=1$

$f'(1)=-\frac{1}{2\cdot \sqrt{1}}-2\cos\pi=-0.5-2\cdot(-1)=-0.5+2=1.5$

Уравнение касательной:

                                   $y=1.5(x-1)+2=1.5x-1.5+2=\boxed{1.5x+0.5}$