Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА
НУЖНО НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ

Answer 1

Вспомним правила дифференцирования частного двух функций и производную тангенса

$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}$

Тогда:

$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \medskip \\ \left[\tan(x)\right]'=\left[\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right]'=\dfrac{(\sin(x))'\cos(x)-\sin(x)(\cos(x))'}{\cos^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

Перейдем к примерам

$42)~f(x)=5\sqrt{x}-\tan^9(x) \Leftrightarrow f(x)=5x^{\frac{1}{2}}-\tan^9(x) \medskip \\ f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}-9\tan^8(x)\cdot\dfrac{1}{\cos^2(x)}\cdot 1=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-\dfrac{9\tan^8(x)}{\cos^2(x)} \medskip \\ 43)~f(x)=\dfrac{x^8-2x^7-x}{\tan(x)} \medskip \\ f'(x)=\dfrac{\left(x^8-2x^7-x\right)'\cdot\tan(x)-\left(\tan(x)\right)'\cdot\left(x^8-2x^7-x\right)}{\tan^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\tan(x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-\frac{x^8-2x^7-x}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)}$

Приведем последний пример к более благородному виду

$\dfrac{\tan(x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-\frac{x^8-2x^7-x}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)}=\dfrac{\frac{\sin(x)\cos(x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-x^8+2x^7+x}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\sin(x)\cos(x)\left(8x^7-14x^6-1)-x^8+2x^7+x}{\sin^2(x)}=\medskip\\=\dfrac{\sin(2x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-2x^8+4x^7+2x}{2\sin^2(x)}$

Ответ.

$42)~f'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-\dfrac{9\tan^8(x)}{\cos^2(x)}$ ;

$43)~f'(x)=\dfrac{\sin(2x)\left(8x^7-14x^6-1\right)-2x^8+4x^7+2x}{2\sin^2(x)}$