Question

Найти
$d^2u;\ u=f(t);\ t=x^2+y^2+z^2$
Полный дифференциал первого порядка я нашел
$\frac{\delta u}{\delta x}=2xf'_t(t)\\\frac{\delta u}{\delta y}=2yf'_t(t)\\\frac{\delta u}{\delta z}=2zf'_t(t)\\\\du=2f'_t(t)(xdx+ydy+zdz)$
Но мне не совсем понятно как теперь подступится ко второй производной.В плане нахождения частных производных.Так как мое решение и ответ разнятся.
Например:
$(2f'_t(t)(xdx+ydy+zdz))'_x=?$, непонятно как действовать с f(t).

Answer 1

$du=f'(t)\,dt\\ d^2u=d(du)=d(f'(t)\,dt)=f''(t)\,(dt)^2+f'(t)\,d(dt)$

dt уже выписано:

$dt=2(x\,dx+y\,dy+z\,dz)$

Вычисляем d(dt):

$d(dt)=2((dx)^2+(dy)^2+(dz)^2)$

Тогда

$d^2u=4f''(t)(x\,dx+y\,dy+z\,dz)^2+2f'(t)(dx^2+dy^2+dz^2)=\\=4f''(t)(x^2\,dx^2+y^2\,dy^2+z^2\,dz^2+2xy\,dx\,dy+2xz\,dx\,dz+\\+2yz\,dy\,dz)^2+2f'(t)(dx^2+dy^2+dz^2)$