Question

9 класс, 50 баллов, помогите с заданием б). понимаю, что надо использовать свойство о том, что сумма монотонных функций будет монотонна, но не уверена, что могу доказать их монотонность в данном случае. и подскажите, пожалуйста, надо ли рассматривать отдельные промежутки

Answer 1

$\sqrt{ {x}^{2} + 5 } + \sqrt{2 {x}^{2} + 1} = 6$
т.к х²+5>0 и 2х²+1>0 всегда, то ОДЗ х€R

введем замену х²=t

$\sqrt{ t + 5 } + \sqrt{2 t + 1} = 6$

у нас обе функции( от t) ( под знаком квадратного корня) монотонно возрастающие, и их сумма будет монотонно возрастающая функция , справа же у нас постоянная функция

следовательно, у нашего уравнения будет не более одного корня

Легко видеть , что t=4 удовлетворяет нашему условию,
действительно
$\sqrt{4 + 5} + \sqrt{2 \times 4 + 1} = 3 + 3 = 6$
откуда x²=4

x²-4=0
(x-2)(x+2)=0

x¹'²=±2

Ответ х¹=2, х²=-2