Question

50 баллов

Найти первые пять (ненулевых) членов разложения в степенной ряд решения ДУ с заданными начальными условиями.
y''-2xy'+2y=0 y(0)=-1 y'(0)=2
Очень нуждаюсь в Вашей помощи. Заранее спасибо.

Answer 1

$y''-2xy'+2y=0\; ,\; \; y(0)=-1\; ,\; \; y'(0)=2$

Ищем решение в виде ряда Маклорена:

$y(x)=y(0)+y'(0)\cdot x+\frac{y''(0)}{2!}\cdot x^2+\frac{y'''(0)}{3!}\cdot x^3+\frac{y^{1V}(0)}{4!}\cdot x^4+...\\\\y''(x)=2xy'-2y\; \to \; y''(0)=2\cdot 0\cdot y'(0)-2\cdot y(0)=0-2\cdot (-1)=2\\\\y'''(x)=2\cdot y'+2x\cdot y''-2y'=2xy''\; \to \; y'''(0)=2\cdot 0\cdot y'(0)=0\\\\y^{1V}(x)=2y''+2xy'''\; \to \; y^{1V}(0)=2y''(0)+2xy'''(0)=2\cdot 2+2\cdot 0\cdot 0=4\\\\y^{V}(x)=2y'''+2y'''+2xy^{1V}=4y'''+2xy^{1V}\; \to \; y^{V}(0)=4\cdot 0+2\cdot 0\cdot 4=0\\\\y^{V1}(x)=4y^{1V}+2y^{1V}+2xy^{V}\; \to \; y^{V1}(0)=6\cdot 4+2\cdot 0\cdot 0=24$

Запишем ряд Маклорена:

$y=-1+2x+\frac{2}{2!}\cdot x^2+\frac{4}{4!}\cdot x^4+\frac{24}{6!}\cdot x^6+...\\\\y=-1+2x+x^2+\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{30}x^6+...$