Предмет: Математика, автор: Leniorko

a)Решите тригонометрическое уравнение
2cos^3x=sin(\frac{\pi }{2}-x)
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4\pi;-\frac{5\pi }{2}]

Ответы

Автор ответа: d3782741
2

Используем формулы приведения и формулу двойного угла:

а)

2\cos^3x=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)
\medskip
\\
2\cos^3x=\cos x
\medskip
\\
2\cos^3x-\cos x=0
\medskip
\\
\cos x\left(2\cos^2x-1\right)=0
\medskip
\\
\cos x\cdot \cos 2x=0
\medskip
\\
1)\cos x = 0
\medskip
\\
x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k\in \mathbb{Z}
\medskip
\\
2) \cos 2x=0
\medskip
\\
2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m, m\in \mathbb{Z}
\medskip
\\
x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi m}{2}, m\in \mathbb{Z}

Выборку произведем на окружности:

б) Синие точки - первая серия корней, зеленые - вторая, красные - данный отрезок

Найдем угловую меру синих и зеленых точек

(1) -4\pi +\dfrac{\pi}{2}= \dfrac{\pi-8\pi}{2}=-\dfrac{7\pi}{2}
\medskip
\\
(2) -\dfrac{7\pi}{2}+\pi=\dfrac{2\pi - 7\pi}{2}=-\dfrac{5\pi}{2}
\medskip
\\
(3)-4\pi + \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{15\pi}{4}
\medskip
\\
(4)-\dfrac{15\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\pi-15\pi}{4}=-\dfrac{13\pi}{4}
\medskip
\\
(5) -\dfrac{13\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\pi-13\pi}{4}=-\dfrac{11\pi}{4}


Приложения:

Leniorko: Можешь подлечить ответ, пожалуйста?
Leniorko: О, всё
d3782741: Да, коду время нужно на загрузку
Leniorko: Спасибо огромное
d3782741: Только сейчас заметил - оговорочка, не все точки второй серии корней (зеленые) изображены на картинке. Ещё одна должна быть расположена в четвертом квадранте, но т.к. она не входит в отрезок выборки, я её не рисовал
Похожие вопросы
Предмет: Қазақ тiлi, автор: egorzverev43525
Предмет: Английский язык, автор: kolesnicenkoanna51