Question

Помогите, пожалуйста, найти обратную матрицу

Answer 1

Элементы обратной матрицы вычисляются по формуле $x_{ij}^{-1}=\dfrac{1}{|X|} X_{ji}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\end{array}\right)$

Найдем определитель:

$|A|=\left|\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\end{array}\right|=3\cdot2-1\cdot5=1$

Найдем алгебраические дополнения:

$\big A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot |2|=2 \\\ \big A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot |5|=-5 \\\ \big A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot |1|=-1 \\\ \big A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot |3|=3$

Обратная матрица составляется как транспонированная матрица алгебраических дополнений, домноженная на величину, обратную определителю:

$A^{-1}=\dfrac{1}{1} \left(\begin{array}{cc}2&-1\\-5&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\-5&3\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{ccc}4&-1&2\\1&1&-2\\0&-1&3\end{array}\right)$

Определитель:

$|B|=\left|\begin{array}{ccc}4&-1&2\\1&1&-2\\0&-1&3\end{array}\right|=4\cdot1\cdot3+0\cdot(-1)\cdot(-2)+2\cdot1\cdot(-1)- \\\ -2\cdot1\cdot0-4\cdot(-2)\cdot(-1)-3\cdot(-1)\cdot 1= 12-2-8+3=5$

Алгебраические дополнения:

$\big B_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&-2\\-1&3\end{array}\right|=1\cdot3-(-2)\cdot(-1)=1 \\\ \big B_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&-2\\0&3\end{array}\right|=-(1\cdot3-0\cdot(-1))=-3 \\\ \big B_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&1\\0&-1\end{array}\right|=1\cdot(-1)-1\cdot0=-1$

$\big B_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}-1&2\\-1&3\end{array}\right|=-((-1)\cdot3-2\cdot(-1))=1 \\\ \big B_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&2\\0&3\end{array}\right|=4\cdot3-2\cdot0=12 \\\ \big B_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&-1\\0&-1\end{array}\right|=-(4\cdot(-1)-(-1)\cdot0)=4$

$\big B_{31}=(-1)^{3+1}\cdot \left|\begin{array}{ccc}-1&2\\1&-2\end{array}\right|=(-1)\cdot(-2)-2\cdot1=0 \\\ \big B_{32}=(-1)^{3+2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&2\\1&-2\end{array}\right|=-(4\cdot(-2)-2\cdot1)=10 \\\ \big B_{33}=(-1)^{3+3}\cdot \left|\begin{array}{ccc}4&-1\\1&1\end{array}\right|=4\cdot1-(-1)\cdot1=5$

Обратная матрица:

$B^{-1}=\dfrac{1}{5} \left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\-3&12&10\\-1&4&5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0.2&0.2&0\\-0.6&2.4&2\\-0.2&0.8&1\end{array}\right)$