Question

сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a плоский угол при вершине b. найдите площадь полной поверхности.

Answer 1

Пирамида правильная, значит в основании квадрат,  а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Sполн. пов. = Sосн + Sбок

Sосн = а²

Пусть SH - высота грани ASD, т.е. SH -  апофема пирамиды.

Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 4a · SH

ΔASD равнобедренный, поэтому SH - высота, биссектриса и медиана,

АН = а/2, ∠ASH = b/2.

ΔASH: ctg(b/2) = SH / AH

            SH = AH · ctg(b/2) = a/2 · ctg(b/2)

Sбок = 1/2 · 4a · SH = 2a · a/2 · ctg(b/2) = a² · ctg(b/2)

Sполн. пов. = a² + a² · ctg(b/2)  = a²(1 + ctg(b/2))