Question

Чи є послідовність арифметичною прогресією?

Answer 1

$a_{n}=\frac{n}{n+1}$

$a_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

$a_{2}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$

$a_{3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$

$a_{4}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$

....................................................................

$a_{n-1}=\frac{n-1}{n-1+1}=\frac{n-1}{n}$

$a_{n}=\frac{n}{n+1}$

$d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=...=a_{n}-a_{n-1}$

$d=a_{2}-a_{1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2*2-1*3}{6} = \frac{1}{6}$

$d=a_{3}-a_{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{3*3-2*4}{12} = \frac{1}{12}$

$d=a_{4}-a_{3}=\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{4*4-5*3}{20} = \frac{1}{20}$

$\frac{1}{6} \neq \frac{1}{12} \neq \frac{1}{20}$

Ответ: данная последовательность НЕ является арифметической прогрессией.