Question

Доказать методом математической индукции. Срочно, пожалуйста!

Answer 1

1. База индукции: n = 2.

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}\leq2-\frac{1}{2}\\1.25\leq1.5$

Верно.

2. Пусть n = k. Предположим, что для этого n неравенство выполняется.

3. Пусть n = k + 1. Тогда

$\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i^2}\leq2-\frac{1}{k+1}\\\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(k+1)^2}\leq2-\frac{1}{k+1}\\2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\leq2-\frac{1}{k+1}\\\frac{1}{(k+1)^2}+\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k}\leq0\\\frac{k+k^2+k-k^2-2k-1}{k(k+1)^2}\leq0\\\frac{-1}{k(k+1)^2}\leq0\\\frac{1}{k(k+1)^2}\geq0\\k(k+1)^2>0\\k>0$

Отсюда следует, что неравенство справедливо для всех натуральных k, а значит, и для всех натуральных n (пункт 2).