Question

Решить неравенство
-----------

Answer 1

task/29457665  Решить неравенство  x² / (x+1)² +x²  ≥ 1,25 .

x² / (x+1)² +x²  ≥ 1,25 ⇔ (x - x / (x+1) )² +2x²/(x+1) - 5/4 ≥0

⇔(x² / (x+1) )²+2x²/(x+1) - 5/4 ≥0  Замена переменной: t = x²/(x+1)  

t² + 2t - 5/4   ≥ 0  ⇔ ( t +5/2)(t - 1/2)  ≥ 0 ⇒ t  ∈ ( -∞ ; - 5/2 } ∪ [ 1/2 ; ∞) .

a)   x²/ (x +1)  ≤ - 5/2 ⇔2x²/ (x +1)+5/2 ≤ 0 ⇔(2x²+5x +5) /2(x+1) ≤ 0 ⇔

x+ 1 < 0⇒ x ∈ (- ∞ ; -1) .

 ! ! ! для всех x  2x²+5x +5 > 0 т.к.  a=2 >0 и D =5² -4*2*5 = -15 < 0

* * *   или иначе 2x²+5x +5 = 2( x + 5/4)² + 15 /8  > 0 * * *

б) x²/ (x +1)  ≥ 1 /2 ⇔ x²/ (x +1)  -1 /2 ≥ 0 ⇔ (2x² - x  - 1 ) / 2(x+1)  ≥ 0 ⇔      

(x + 1 /2) (x - 1) / (x+1) ≥ 0    || методом интервалов  ||

------------- (-1 ) ////////// [ - 1 / 2 ] -------------- [ 1  ] ///////////

x ∈ (-1 ;   - 1 / 2 ]  ∪  [ 1 ; ∞) .

объединяя  решения пунктов a) и б)   окончательно получим

ответ :  x ∈ ( - ∞ ; - 1) ∪  (- 1 ; 1/2 ]  ∪  [  1  ; ∞) .