Question

9×3^x + 5×6^x/2 = 2^x+2

Answer 1

task/29456757 Решить уравнение 9*3^x + 5*6^(x/2) = 2^ ( x+2 )   || не 2ˣ +2

9*3ˣ + 5*6^(x/2) = 2ˣ ⁺ ² ⇔  9*3ˣ + 5*2^(x/2)*3^(x/2) - 4*2ˣ = 0 || : 2ˣ ≠ 0  ||  ⇔

9*(3/2) ^(x) + 5*(3/2) ^(x/2)  - 4 =0 замена:  t = (3/2) ^ (x/2) > 0  ⇒

9t² + 5t - 4 =0 ⇔9t² + 9t - 4t -4 =0 ⇔9t(t +1) - 4(t+1) =(t+ 1)(9t -4) =9(t+1/2)(t-4/9)  или иначе

D = 5² -4*9*( -4 ) =25 +144 =169 = 13² ; √ D = 13 ;   t ₁ , ₂ =(-5± 13) /2*9

t ₁ =(- 5 -13)/ 18 = - 1  < 0 _посторонний корень ;  

t ₂ = (- 5 +13)/18 =8/18 =4/9 =(2/3)²  = (3/2)⁻²  

Обратная замена  (3/2) ^(x/2) = (3/2)⁻²  ⇒ x /2 = - 2 ⇒  x = - 4 .

ответ : x = - 4 .