Question

Найти сумму корней, помогите

Answer 1

ОДЗ: x≠0

${x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } - \frac{5 {x}^{2} + 5}{x} - 4 = 0 \\ \\ {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } - 5x - \frac{5}{x} - 4 = 0 \\ \\ {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } - 5(x + \frac{1}{x} ) - 4 = 0$
Замена:

$x + \frac{1}{x} = t \\ \\ (x + \frac{1}{x} {)}^{2} = {t}^{2} \\ \\ {x}^{2} + 2 + \frac{1}{ {x}^{2} } = {t}^{2} \\ \\ {x}^{2} + \frac{1}{ {x}^{2} } = {t}^{2} - 2$
Полученные выражения подставляем в исходное уравнение и получаем:

${t}^{2} - 2 - 5t - 4 = 0 \\ \\ {t}^{2} - 5t - 6 = 0 \\ \\ t _1 = 6 \\ t _2 = - 1$
Обратная замена:

$1) \: x + \frac{1}{x} = 6 \: \: | \times x \\ \\ {x}^{2} + 1 = 6x \\ \\ {x}^{2} - 6x + 1 = 0 \\ \\ D = 36 - 4 = 32 \\ \\ x _1 = \frac{6 - \sqrt{32} }{2} \\ \\ x _2 = \frac{6 + \sqrt{32} }{2} \\ \\ x _1 + x _2 = \frac{6 - \sqrt{32} }{2} + \frac{6 + \sqrt{32} }{2} = \frac{12}{2} = 6$
Или как альтернатива:
Если просят найти сумму корней, то не решая это уравнение, по теореме Виета:
$x _1 + x _2 = 6$
Главное, чтобы дискриминант был неотрицательным

$2) \: x + \frac{1}{x} = - 1 \: \: | \times x \\ \\ {x}^{2} + 1 = - x \\ \\ {x}^{2} + x + 1 = 0 \\ D = 1 - 4 = - 3 < 0$
Корней нет

Ответ:6