Question

На комплексной плоскости даны точки z1, z2,z3, являющиеся тремя последовательными вершинами некоторого параллелограмма. Найдите четвёртую вершину этого параллелограмма

Answer 1

В контексте геометрии комплексное число a+bi можно рассматривать как вектор $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$. Тогда можно легко получить четвёртую точку параллелограмма при помощи сложения и вычитания векторов. У параллелограмма с векторами, соответствующими точкам, v, i, j, k (по часовой стрелке) верно, что v - i = k - j, потому что у параллелограмма противолежащие стороны параллельны.

Значит,

$z_4 - z_1 = z_3 - z_2 \\ z_4 = z_3 - z_2 + z_1$

Можно проверить на примере:

$z_1 = -2-3i \\z_2 = -1 + 2i \\z_3 = 5 + 4i \\z_4 = (5+4i) - (-1 + 2i) + (-2-3i) = 4-i$.

Действительно, если взять клетчатый лист бумаги, четвёртая точка находится именно в (4;-1).