Question

Помогите решить уравнение

Answer 1

Решить уравнение (cos2x+√2cosx+1)/(tgx-1)=0, найти корни уравнения, принадлежащие отрезку [3п/2; 3п].

Решение:

$\tt \dfrac{cos2x+\sqrt{2}cosx+1}{tgx-1} =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ODZ: cosx \neq 0 \ \cup \ x \neq \dfrac{\pi}{4}+2 \pi k \\ cos2x+\sqrt{2}cosx+1=0 \\ 2cos^2x-1+\sqrt{2}cosx+1=0 \\ \sqrt{2}cos^2x+cosx=0 \\ cosx(\sqrt{2}cosx+1)=0 \\ \\ cosx=0 \\ x \notin ODZ \\ \\ cosx=-\dfrac{1}{\sqrt2}\\ x= \pm \dfrac{3 \pi}{4}+2 \pi k$

Серия x=-3п/4+2пk отлетает из-за ОДЗ. Отбор корней:

$\tt \dfrac{3 \pi}{2} \leq \dfrac{3 \pi}{4}+2 \pi k \leq 3 \pi \\ 6\leq 3+8 k \leq 12 \\ 3 \leq 8 k \leq 9 \\ \dfrac{3}{8} \leq k \leq \dfrac{9}{8} \\ \\ k=1 \ \Rightarrow \ x= \dfrac{3 \pi}{4}+2 \pi =\dfrac{11 \pi}{4}$

Ответ:  $\tt A) \ x=\dfrac{3 \pi}{4} +2 \pi k; \ k \in \mathbb Z \ \ \ B) \ \dfrac{11 \pi}{4}$