Question

Решите уравнение............:

Answer 1

$\sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} = 5$

ОДЗ:

$\sqrt{4x + 1} \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant -\dfrac{1}{4}$

$\sqrt{3x-2} \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant \dfrac{2}{3}$

Значит, ОДЗ для всего уравнения будет $x \geqslant \dfrac{2}{3}$.

$\left(\sqrt{4x + 1} + \sqrt{3x - 2} \right.)^{2} = 5^{2}$

$4x + 1 + 2\sqrt{(4x + 1)(3x - 2)} + 3x - 2 = 25$

$4x + 1 + 2\sqrt{12x^{2} - 8x +3x - 2} + 3x - 2 = 25$

$7x - 1 + 2\sqrt{12x^{2} - 5x - 2} = 25$

$2\sqrt{12x^{2} - 5x - 2} = 26 - 7x$

Проверим ОДЗ, возникшее по ходу решения:

$26 - 7x \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant \dfrac{26}{7} = 3\dfrac{5}{7}$

Значит, новое ОДЗ для всего уравнения будет $x \in \bigg[\dfrac{2}{3}; \ 3\dfrac{5}{7} \bigg]$.

$\left(2\sqrt{12x^{2} - 5x - 2} \right.)^{2} = (26 - 7x)^{2}$

$4 (12x^{2} - 5x - 2) = 676 - 364x + 49x^{2}$

$48x^{2} - 20x - 8 = 676 - 364 x + 49x^{2}$

$-x^{2} + 344x - 684 = 0$

$x^{2} - 344x + 684 = 0$

$D = (-344)^{2} - 4 \ \cdotp 1 \ \cdotp 684 = 115600$

$x_{1,2} = \dfrac{344 \ \pm \sqrt{115600} }{2} = \dfrac{344 \ \pm 340}{2} =\left[\begin{array}{ccc}x_{1} = 2 \ \ \ \\x_{2} = 342\\\end{array}\right$

2 входит в ОДЗ, а 342 - не входит, поэтому правильный ответ 2.

Ответ:  $x = 2$

Answer 2

Угадываем решение x=2 (при подстановке получаем 3+2=5). Поскольку левая часть уравнения монотонно возрастает, а правая постоянна, других решений быть не может.

Ответ: 2