Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:(с решением)

Answer 1

Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, является однородным уравнением.

Пусть $\tt y=ux$, тогда $\tt y'=u'x+u$

$\tt (ux-x)(u'x+u)-x-ux=0\\ (u-1)(u'x+u)=u+1\\ \\ u'x+u=\dfrac{u+1}{u-1}\\ \\ u'x=\dfrac{2}{u-1}+1-u$

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \tt \frac{du}{dx}\cdot x=\dfrac{2}{u-1}+1-u\\ \\ \frac{du}{dx}\cdot x=-\dfrac{(u-1)^2-2}{u-1}\\ \\ \\ \int \frac{(u-1)du}{(u-1)^2-2}=\int -xdx\\ \\ 0.5\ln|(u-1)^2-2|=-\frac{x^2}{2}+C$

Возвращаемся к обратной замене

$\tt 0.5\ln\bigg|\bigg(\dfrac{y}{x}-1\bigg)^2-2\bigg|=-\dfrac{x^2}{2}+C$ - общий интеграл