Question

Пятый член арифметической прогрессии равен 19. Если к первому, второму и четвертому членам этой прогрессии прибавить по единице, то получается три последовательных членов геометрической прогрессии. Найти арифметическую прогрессию.

Answer 1

$\left \{ {{a_1+4d=19} \atop {\frac{a_1+d+1}{a_1+1}=\frac{a_1+3d+1}{a_1+d+1}}} \right.$

Буду использовать в обозначениях $a_1=a$ для удобности

$\left \{ {{a+4d=19} \atop {(a+d+1)^2=(a+3d+1)(a+1)}} \right.$

$a=19-4d$

Подставим во 2-е уравнение:

$\frac{20-3d}{20-4d}=\frac{20-d}{20-3d}$

$(20-3d)^2=(20-d)(20-4d)$

$9d^2-120d+400=4d^2-100d+400$

$9d^2-120d=4d^2-100d$

$5d(d-4)=0$

$d=4$

$a_1=19-4d=19-16=3$

$3; \ 7; \ 11; \ 15; \ 19$

искомая последовательность