Question

Вычислить неопределенный Интеграл срооооочно

Answer 1

Используем интегрирование по частям:

$\int \mathrm{u\,dv=uv-\int v\, du}$

пусть $u=\mathrm{arctg}x$ и пусть $\mathrm{dv=xdx}$

Тогда $\mathrm{du=\frac{dx}{x^2+1}};~~~~ \mathrm{v=\frac{x^2}{2}}$

$\displaystyle \tt \displaystyle \int x \cdot arctg\,x\, dx=\frac{x^2arctg\, x}{2}-\int \frac{x^2dx}{2(x^2+1)}=\frac{x^2arctg\, x}{2}-\\ \\ \\ -\int \frac{x^2+1-1}{2(x^2+1)}dx=\frac{x^2arctg\, x}2}-\int \bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{2(x^2+1)}\bigg)dx=\\ \\ \\ =\frac{x^2arctg\, x}{2}-\frac{x}{2}+\frac{arctg\, x}{2}+C$